ESSAIS

sur

L'ENSEIGNEMENT EN GENERAL

et sur

CELUI DES MATHEMATIQUES

En particulier;

Par S. F. LACROIX


SECONDE EDITION
Revue et corrigée

A PARIS
Chez Mme Vve COURSIER, Imprimeur-Libraire pour les Mathématiques,
quai des Augustins, n°57
1816

 

BUTS DE L'OUVRAGE

Au moment où l’Instruction publique vient de recevoir une nouvelle organisation (1), où un ordre des choses entravé par des obstacles de tout genre, qui n’a pu être jugé dans le calme de la raison, ni apprécié par une expérience suffisamment continuée et dégagée de toutes les circonstances étrangères à la nature des institutions; enfin qui, depuis sa naissance et jusqu'à sa destruction, a été attaqué par toutes sortes d’hommes et par les raisons les plus opposées a cessé d’exister. Il est à propos, ce me semble, de fixer, au moins pour l’histoire, le véritable caractère de ces institutions; de chercher si, parce qu’elles ont été crées après la tourmente révolutionnaire, elles n’étaient en effet que le résultat de l’exagération qui a causé tant de maux, ou si, amenées par le progrès des lumières, et conformes aux vues des plus grands hommes du dernier siècle, elles étaient propres à accélérer le développement de l’esprit humain: enfin de présenter un résumé des effets qu'elles ont produits pour la restauration des études, et des observations auxquelles elles ont donné lieu sur les diverses méthodes d’enseignement. 

Pour cette discussion, on rencontrera peut être des principes généraux, indépendants de toute opinion particulière, de toute circonstance politique, et qui tiennent le milieu entre ces oscillations auxquelles l’espèce humaine paraît condamnée depuis long-tems. Tels sont les motifs qui m’ont fait entreprendre cet ouvrage: j’y consignerai les résultats d’une longue expérience dans l’enseignement, acquise dans des écoles très-diverses, par des méthodes très-variées et sous l’influence de régimes administratifs très-opposés. 

Appelé en l’an 3 (1794) à coopérer au rétablissement de l’Instruction publique, j’ai vu de près les difficultés qu’on avait à surmonter; j’ai longtems médité sur les mesures qu'on proposait, ou qu’il était nécessaire de prendre pour consolider le nouveau système d’Instruction: j’ai connu les causes qui ont empêché le succès de ces mesures, ou qui se sont opposées à ce que l’on les prîs. Enfin, étranger à tous les partis, et placé dans des circonstances qui m’ont permis de n’être qu’observateur dans la crise violente que avons éprouvée, je n’ai rien à dissimuler, rien à considérer derrière moi qui puisse m’empêcher de dire la vérité toute entière, ou du moins ce que je prend pour elle. 

SECONDE SECTION
DE L'ENSEIGNEMENT DES MATHEMATIQUES

§ III

Analyse du Cours élémentaire de Mathématiques pures 
à l'usage de l'Ecole centrale des Quatre-Nations

 

I° De l'arithmétique Les mathématiques sont celles de nos connaissances qui reposent sur le plus petit nombre des sensations, mais aussi sur les plus répétées, celles qui conduisent aux idées du nombre et de l’étendue; idées qui entrent de si bonne heure dans l’esprit, qu’on ne peut se rappeler quand et comment elles ont été acquises. Leur simultanéité est telle, qu’il n’y a pas de raison pour commencer par les conséquences de l’une, plutôt que celles de l’autre, l'éducation mathématique des enfans. Cependant, comme les applications de calcul numérique sont les plus fréquentes, l’usage d’enseigner d’abord la science des nombres ou l’arithmétique, a prévalu; mais il conviendrait que les conséquences des premières notions fussent d’abord représentées physiquement avant d’être déduites du raisonnement, et que les enfans apprissent primitivement à calculer par leurs doigts ou avec des jetons, ainsi que l’ont fait les hommes eux-mêmes dans les origines de la science. Par ce moyen, dès leur plus jeune âge, les élèves sentiraient les avantages et la nature des signes conventionnels qu’on emploie pour abréger l’expression des nombres et faciliter leurs diverses combinaisons. Si l’on en use pas ainsi dans les écoles, c’est parce que l’on a toujours cherché plutôt la commodité de celui qui montre, que celle de ceux qu’il enseigne, et qu’avec des châtimens on vient toujours à bout de faire apprendre par cœur à un enfant, ce que d’autres ont appris de même avant lui. Associer de bonne heure le jugement à la mémoire, serait le chef d’œuvre de la première éducation, si l’on savait s’y prendre pour cela comme la nature. Il semble pourtant que sa marche à cet égard doit pouvoir se découvrir par des observations simples, qui ont peut être déjà été faites, et qu’il serait facile de répéter à l’aide des méthodes raisonnées, qui de nos jours ont été proposées par un grand nombre, pour apprendre les premiers élémens du calcul. La base de ces élémens, qui est uniquement du ressort de la mémoire, c’est la série des noms assignés aux nombres, que l’enfant doit apprendre à énoncer, soit dans l’ordre naturel, ou en montant, soit dans l’ordre inverse ou en descendant. Dans presque toutes les langues, cette monenclature est divisée en plusieurs parties liées entr'elles par des analogies qu’il faudrait faire remarquer le plutôt possible, parce qu’ayant pour objet d’augmenter l’étendue de la nomenclature, sans accroître le nombre des mots dont elle se compose, elles forment une introduction très-naturelle à l’emploi des caractères arithmétiques. Ceux-ci étant amenés par ce moyen, leurs premiers usages s’apprendront sans peine; mais comme il doivent être très-familiers, et que l’âge du disciple ne supporte qu’une application très-bornée, il faut beaucoup d’exemples et beaucoup de tems pour que les procédés s’exécutent tout-à -fait mécaniquement, terme avant lequel on ne peut les regarder comme sus. Ceux que j’ai en vue dans ce moment sont, l’addition, la soustraction, la multiplication, la division ou les quatre opérations fondamentales de l’arithmétique, mais sur les nombres entiers seulement. Ce premier enseignement, presque toujours expérimental, et dans lequel le raisonnement, si on l’emploie, ne doit pas s’élever au-delà des indices qui font apercevoir, ou plutôt pressentir la vérité, est absolument en dehors du cours de mathématiques que je me propose d’analyser. Je n’ai parlé que de l’un que parce qu’il sert de base à l’autre, et pour indiquer le peu de théorie qu'on y pourrait faire aisément entrer dans les livres destinés, non aux enfans, qui ne sauraient en faire usage, mais aux maîtres des petites écoles, auprès desquels il faudrait prendre le langage qu’ils doivent employer avec leurs disciplines; car toute traduction serait trop difficile pour le plus grand nombre. L’impossibilité de prendre ce langage, sans avoir observé de près, est peut être le plus grand obstacle aux progrès de l’instruction primaire. 

En reprenant avec tous les développemens de la théorie, les premières notions de l’arithmétique, il est important même, avec des élèves d’une raison déjà formée, de rentrer, autant qu’il est possible, dans les voies qu’on a dû leur faire suivre en commençant leur éducation, et par conséquent d’analyser à la fois la nomenclature vulgaire des nombres, et la manière de les exprimer en chiffres, afin de faire sortir l’une de l’autre. Ce serait compliquer de trop bonne heure ces premières idées, que de parler en même tems des décimales; il faut renvoyer celles-ci à l’article des fractions en général, et elles ne sont qu’un cas particulier, et, après que la discussion des procédés mis en usage pour effectuer sur des nombres entiers les opérations fondamentales, à familiariser les élèves avec la progression des valeurs que prend un même caractère en passant par diverses places. 

Ce sont les conséquences immédiates de ce mécanisme qui constituent l’arithmétique proprement dite, bornée à la théorie et à la pratique des quatre premières règles, mais la décomposition d’un nombre en parties égales, ne pouvant s’opérer le plus souvent qu’en décomposant ainsi l’unité qu’on a choisie pour terme de comparaison, on rencontre bientôt une espèce de nombres dont l’expression renferme deux idées, puisqu’il s’agit d’une certaine quantité d’unités et du nombre des parties dans lequel chacune doit être partagée.Le signe propre à rendre ces idées, doit être composé de deux élémens, et présente par conséquent deux sortes de modifications qui résultent des opérations qu'on peut effectuer soit séparément, soit conjointement, sur ses deux parties. Voilà où conduit, ce me semble, le développement de la définition des fractions, lorsqu'on les déduit des fractions imparfaites, leur origine naturelle. C'est donc à montrer avec soin les changemens que reçoit une fraction, à raison de ceux qu'on fait subir à chacun de ces termes, qu'on doit s'attacher pour fonder la théorie des fractions. 

Une difficulté sur laquelle la plupart des auteurs ont glissé trop légèrement, c'est l'application aux nombres fractionnaires, des définitions de la multiplication et de la division, relative aux nombres entiers. Il y a ici un passage très-remarquable d'une acception donnée aux mots multiplier et diviser, d'après le cas le plus simple de l'idée qu'ils expriment, à une acception générale, dans laquelle on enveloppe des cas nouveaux qui se lient aux premiers que par de simples analogies. L'indication de ces analogies semble même exiger la considération des nombres concrets. 

Ce n'est, par exemple, qu'en rapportant la multiplication à son usage le plus fréquent, savoir: trouver le prix d'une certaine quantité de matière, par le prix de l'unité de cette matière, qu'on peut montrer comment il y a lieu à multiplier par une fraction, ce qui répond à une véritable division; car c'est comme cas particulier de la question précédente qu'on dit également, multiplier par deux et multiplier par un demi, doubler le prix de la mesure d'une denrée quelconque, pour avoir celui de deux mesures, ou prendre la moitié du même prix pour avoir celui de la demi-mesure. On ne saurait, sans se rendre coupable d'inexactitude dans la marche du raisonnement, passer sous silence une extension d'idée aussi importante; elle exige même une définition des termes qui puisse s'y prêter, et dont les conséquences mènent aux modifications que doit subir le calcul, pour s'appliquer à des cas qui semblent entièrement opposés. 

Ce que je viens de faire remarquer convient à la division aussi bien qu'à la multiplication, qui se changent réciproquement l'une dans l'autre, suivant les questions qui y conduisent. Une fois que ces notions sont bien éclaircies, les opérations sur les fractions n'offrent pas plus de difficultés dans la pratique que celles qui se font sur des nombres entiers. Elle ne sont en effet que des combinaisons de celles-ci, déduites des conditions propres aux changemens qu'il faut, d'après l'énoncé de la question, produire sur les fractions données, pour en conclure le résultat demandé. 

La complication de la diversité des dénominateurs introduit dans le calcul des fractions, conduit naturellement à l’invention des fractions décimales qui font disparaître cette complication. C’est alors que l’élève, instruit par sa propre expérience, des inconvénients attachés dans la pratique, à l’usage des fractions ordinaires, saisi complètement les avantages du système décimal, quoique le plus souvent il ne donne que des valeurs approchées au lieu de valeurs rigoureuses. Mais comme dans l’évaluation physique des choses, il y a toujours un terme où on est obligé de s’arrêter, l’exactitude numérique devient inutile, dès qu’elle passe ce terme. 

Lorsque les procédés du calcul sont suffisamment développés, il ne reste qu’à montrer leur application aux questions les plus ordinaires dans les relations sociales, et dont les élémens se trouvent dans les diverses parties du système métrique Jusqu'à la réforme proposée par les membres de l’Académie des Sciences, suivant les vues de l’Assemblée constituante, ce système était formé de parties incohérentes difficiles à placer dans la mémoire. Les subdivisions, différentes pour chaque espèce d’unités et changeant quelquefois de loi pour la même, donnaient lieu à un genre d’opérations qui n’était au fond que le calcul des fractions, mais fort incommode par les conversions qu’il fallait sans cesse effectuer, pour comparer les diverses parties du même nombre entr'elles. A cette complication, qui n’atteignait encore que le calcul, se joignait la variété des mesures de même espèce, qui changeaient d’une province, et quelque fois d’une ville à l’autre. Quelle innovation devait sembler plus désirable et plus facile à introduire, que l’établissement de mesures uniformes et assujetties à des subdivisions et à des composés pris dans la progression décimale, base du système de numération généralement adopté? La plus légère volonté aurait suffi pour se mettre au courant des très- petites modifications à faire aux quatre règles pour les approprier aux opérations les plus compliquées, sur les mesures du nouveau système, puisqu’il ne s’agissait que du simple déplacement de la virgule qui fixe la position des unités dans les nombres accompagnés de fractions décimales; mais pour jouir de cette facilité, il fallait abandonner de bonne foi l’usage des anciennes mesures, opérer matériellement avec les nouvelles, et que l’on aurait eu de conversions à faire d’un système dans un autre, que pour les transactions passées. 

Ce n’était assurément pas un travail préliminaire bien pénible pour les marchands, que d’établir une première fois le prix des denrées dans la nouvelle unité et ils en auraient suivi. Les variations sur ce pied comme sur l’ancien. Il aurait été convenable aussi dans les constructions, de remplacer tous les nombres ronds de l’ancien système, par les nombres ronds les plus approchans dans le nouveau. En un mot, il fallait ne pas se borner, pour obéir à la loi, à parler le langage des nouvelles mesures, mais penser et opérer avec ces mesures: elles seraient bientôt devenues aussi familières que celles que l’on voulait effacer, et l'on eut senti promptement tous les avantages qui les recommandent aux esprits supérieurs à la routine, mais une marche absolument contraire a été suivie par les administrations aussi bien que par les particuliers. Les traductions les plus maladroites, surchargées de chiffres exprimant des parties inappréciables et par conséquent superflues, ont rendues les nouvelles mesures ridicules jusque sur les affiches publiques. Les ouvriers, au lieu de porter sur eux un échantillon de la mesure linéaire, de comparer avec ses divisions les dimensions qu’ils devaient apprécier, et d’acquérir le coup d’œil des parties de cette échelle, s’obstinant toujours à rapporter leurs ouvrages à l’ancienne mesure, s’imposaient un double travail pour la rédaction légale de leurs mémoires. Je ne pourrai jamais croire que ce ne soit pas la plus insigne mauvaise volonté, soutenue par des associations d’idées, aussi bizarres que nuisibles aux progrès de la raison, qui ont occasionné toutes les résistances qu'a éprouvé l’établissement des nouvelles mesures. En vain se retrancherait-on sur la difficulté de la nomenclature méthodique, composée de mots grecs et latins, dont la simplicité est au contraire une des propriétés les plus utiles du système. L’idiome national est plein de mots également tirés du grec, tout aussi difficiles à prononcer et à retenir, et qui cependant se trouvent journellement dans la bouche des gens les moins instruits. Enfin l’intérêt qui donne de l’attention, et même une sorte d’intelligence, aux êtres les moins avancés dans la civilisation, devrait rassurer contre la crainte des méprises que les ouvriers et les petits marchands auraient pu commettre à leur détriment. 

J’ignore quel sera définitivement le sort de cette belle institution, basée sur les progrès de l’astronomie et de la physique, et que beaucoup de gens s’obstinent à classer parmi les tracasseries révolutionnaires, avec lesquelles elle n’a cependant aucun rapport, ni par les choses, ni par les hommes; mais je regarde comme un devoir pour tous ceux qui tiennent à l’avancement des sciences et de la raison, de combattre, tant qu’il sera possible, pour la conservation et la propagation d’une réforme vivement desirée avant qu’on l’eût obtenue. 

Parmi les diverses questions auxquelles peuvent donner lieu les transactions sociales les plus fréquentes, il n’y en est aucune dont on ne puisse découvrir la solution, par des raisonnemens fort simples, dès qu’on entend bien la signification des termes techniques dans lequel l’énoncé est exprimé. En faisant d'une manière convenable le développement des conditions explicites et implicites de cet énoncé ,on parvient à déterminer laquelle des quatre opérations fondamentales, ou de leurs combinaisons, il faut faire sur les nombres donnés, pour parvenir aux nombres inconnus. L’habitude de ce genre de recherches constitue le véritable savoir en arithmétique, dispense la mémoire de s’embarrasser de cette foule de règles dont sont remplis les traités ordinaires de cette science, et présente des ressources pour les cas imprévus, dans lesquels échoue le calculateur qui n’essaie que des formules d’opération; il demeure court lorsqu'il n'a pas sous la main, celle du problème qu'il doit résoudre.. [...] 

(1) La première édition de cet Ouvrage a parue en l’an XIV (1805) 


Lacroix (S.F.) Essai sur l’enseignement en général et sur celui des mathématiques en particulier seconde édition, revue et corrigée, à Paris, chez Mme Vve Coursier, 1816. 358 p.

   

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Mise à jour le 5 septembre 1999 par
Marie-Ange Cotteret